sábado, 17 de enero de 2009

Espacios vectoriales y demás maravillas - Part one


Estamos ya en los últimos días de clase antes de los “esperados” exámenes y he pensado en poner aquí una especie de resumen de mis apuntes de Álgebra y Geometría a modo de repaso. Lo bueno de esto es que si anda por ahí algún interesado por las mates esto le servirá para conocer los conceptos y reglas de una abstracción tan linda como es el Álgebra. Y quizás le sirva el contenido de esta entrada a algún fugaz lector que sin querer haya llegado a estos lares.


Comenzaremos introduciéndonos en los espacios vectoriales. ¿Y qué esto? Pues es la terna formada por V (un conjunto no vacío, es decir, que contiene algún elemento), +, una operación interna en V que como todos sabemos se denomina “suma” y x, una operación externa sobre V con operadores escalares tales que se cumple la asociatividad, conmutatividad, atributividad, el elemento neutro, el opuesto y el inverso. A los elementos de un espacio se les denomina vectores, esto es, si consideramos el espacio P de los polinomios, sus elementos, los polinomios, son los vectores de P.

N, Z, Q, R, C son, respectivamente, los espacios vectoriales formados por los números naturales (0, 1, 2…), los enteros (…-1,0,1,2…), los racionales (…-7.02, 0.22, 1.5…), los reales (N, Z, Q y los irracionales como √2) y los complejos (2+3i… siendo i=√-1).

Contenidos en los espacios vectoriales están los subespacios. Si tomamos un espacio V, decimos que U es un subespacio de V si se cumple que: el vector obtenido de multiplicar un vector de U por un escalar, está en U; la suma de dos vectores de U da como resultado un vector de U. Esto se podría resumir en una sola propiedad: U es un subespacio si es cerrado para combinaciones lineales (es decir, que la suma de cualquiera de sus vectores multiplicados por un escalar dará un vector contenido en U).

Combinaciones lineales…centrémonos en esto. ¿Cómo saber si un vector es combinación lineal de otros? Fácil fácil. Si consideramos un conjunto de vectores sabremos si son linealmente independientes (que equivale a decir que ninguno es C.L. de los demás) si la única forma de que obtengamos un 0 poniéndolos como C.L. es que todos los coeficientes (escalares) de los vectores sean 0. P. e.: (3,2),(1,1),(1,0) son linealmente dependientes. ¿Por qué? 1(3,2) + (-2)(1,1)+(-1)(1,0)=(0,0) Además, a simple vista ya se podría ver que el primer vector es C.L. de los otros dos.

Continuamos con algo bastante intuitivo: un conjunto de generadores. Se trata de un grupo de vectores de un espacio determinado que combinándose generan cualquier vector perteneciente a dicho espacio. Un C. G. puede ser o finito o infinito.


Un concepto tremendamente importante en Álgebra es el de base, que se define como un conjunto de vectores que además de ser generadores son linealmente independientes. Y una característica importante de las bases es que dada una base de un espacio vectorial, cualquier vector de dicho espacio se ecpresa de modo único como C. L. de elementos de dicha base.

Una vez entendido esto ya podemos pasar a introducir una serie de teoremas y proposiciones (con sus respectivas y obligatorias demostraciones) relacionados con los conceptos explicados.

“Siendo S un conjunto de vectores lin. ind. y u un vector que no pertenece a S, al unir (añadir) u a S seguimos teniendo un conjunto de vectores lin. ind.” Esto es una afirmación que si se ha entendido lo anterior, es evidente.

“Si consideramos V un espacio vectorial distinto del vacío y finitamente generado podemos asegurar que tiene una base”.


A continuación viene un señor teorema: el Teorema de Steinitz. Y este hombre se juega el jornal a que si tomamos una base de V (un espacio vectorial cualquiera) y un conjunto de vectores lin. ind., se puede cambiar cada uno de los vectores de la base por uno de los vectores lin. ind. Y seguiremos teniendo una base.



Teniendo claro este teorema podemos inferir que todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.


Sí, ya sé que va siendo hora de introducir cosas nuevas, que esto está más que sabido. Así que vamos a ello, y empecemos con el rango. El rango es el nº de vectores lin. ind. de un conjunto de vectores. Un concepto muy similar, sólo que referido a los espacios y subespacios (y no a un grupo de vectores) es la dimensión. Todo el mundo sabe perfectamente cuándo lo que está viendo es de una, dos o tres dimensiones, pero, ¿qué es la dimensión? Nada más y nada menos el nº de elementos de una base. Y un subespacio cuya dimensión es una menor que la del espacio que lo contiene se denomina híperplano.


Si consideramos V un espacio vectorial de dimensión n:




Unos elementos fundamentales que facilitan muchísimo el trabajo con vectores son las coordenadas de un vector con respecto de una base.

Un vector se expresa de modo único con respecto a una base, y a veces nos interesa expresar dicho vector con respecto a otra base distinta por comodidad, ¿pero cómo hallamos las nuevas coordenadas que tendrá el vector?

Seguro que a estas alturas alguno se habrá preguntado si se puede hacer algo más con los subespacios aparte de añadirle un elementucho. Pues sí señor. Los subespacios se pueden sumar. La suma de dos subespacios de V (que contiene a los vectores suma de un vector de un subespacio y un vector del otro) es el menor subespacio de V que contiene a ambos. A diferencia de la suma, la unión de dos subespacios (que contiene a los vectores que están en uno y/o en el otro subespacio) no es, en general, un subespacio.


Os presento ya a la bendita Fórmula de Grassman, que nos servirá para hallar la dimensión de la unión, de la suma y de la intersección (elementos comunes) de dos subespacios.


Basándonos en Grassman decimos que la suma de dos subespacios es directa si su intersección es 0. Y todo vector de la suma se expresa de modo único como suma de un vector de uno de los subespacios y un vector del otro.


Y lo último de este tema. Llamamos complementario de un subespacio a aquel que se encuentra en suma directa con dicho subespacio y cuya suma da lugar al espacio vectorial que contiene a ambos.


Bon profit!

Post it 1: Si alguien cree que me equivoqué en algo, agradecería muuucho que me lo dijese.

Post it 2: Las preguntas/dudas y derivados son bien recibidas, pero no aseguro saber responderlas.

Salud.

1 comentario:

Portu dijo...

Podrías haber avisado antes de que tenías un resumen de Álgebra. ¬¬

Un saludo. XD

Lo he encontrado... (eso sí, por casualidad. jeje)