Con el tema de que van a Madrid me acordé de ellos y de que tengo que volver a verlos. Qué hombres más grandes. Siempre grandes.
Nota: Ya ha comenzado el primero de los dos cuatrimestres, así que he decidido, por una vez en mi vida, llevar las asignaturas al día. Y es que eso de empezar el lunes deseando que llegue el fin de semana para poner todo lo que hemos dado durante la semana al día es bastante angustioso y cansa. Así que voy a intentarlo.
Es por eso que no voy a actualizar el blog con asiduidad (aunque esto tampoco lo hacía antes...).
Para quitarme el mono de blog y comprobar que realmente entendí todo, he creadootrodedicado exclusivamente a las asignaturas que estoy estudiando. Si a alguien se le va la cabeza y le apetece leerlo, adelante.
Primero fue llovizna, después una lluvia fuerte fuerte, más tarde a las gotas de agua se unieron lo que a simple vista parecían piedrecitas heladas. Al momento esas piedrecitas ya se podían identificar claramente como pedruscos de hielo. Parecía nieve.
Después paró de caer agua congelada y volvió la lluvia durante un tiempo hasta que terminó el espectáculo.
. En un mes empiezanlas obras del "carril"-bicique unirá Juan Carlos I con el campus de Espinardo. ¿Les damos un caramelito por haber echado una firmita? Deben de estar sudando, oh sí. Sudando de estar mil años ya mareando a la gente que pide con todo el derecho del mundo un carril para las bicis. "Tal mes empezamos. Ah, no, tal mes no, que no hay dinero PARA ESO, mejor empezamos el año que viene."
¿Para qué dicen cuándo finalizarán las obras? ¿Para después cambiar la fecha? Lo peor es que continuarán con la acera-bici que hay hecha. Y esto es muy gracioso (en realidad, triste). Como dice Ángel Silvente, están quitando acera al peatón. ¿Por qué cojones no quitan carretera y hacen un carril-bici? Así se aprovecharían los nuevos parkings, todos los coches metiditos ahí, para no pillar atascos.
Se están riendo de los que usamos la bici. Si nos descuidamos ni pintan la acera, ponen unos cuantos conos para que pasemos y ala, ya saldría el alcalde diciendo que Murcia es la Ámsterdam de España.
Pero ya lo único que se puede hacer es apechugar con ese supercarril y, por supuesto, cuando lo terminen, besar los pies a los que han llevado a cabo tan acertado proyecto de una forma tan eficaz.
Traigo algo de música. Música de dos mujeres. La primera, la incombustible Bonnie Raitt, la segunda, Susan Tedeschi.
Ésta última hace poco que la descubrí. Daba un concierto en un festival de jazz y me aventuré a ir porque me dijeron que iba a traer buen blues. Pero claro, hasta que no comenzó estaba yo sufriendo por si al final resultaba ser un pastelazo de concierto.
Ay, qué bien hice. Menuda tía, cómo se dejaba la voz y cómo disfruté escuchándola.
Dicen que tiene un estilo que en ocasiones recuerda al de Bonnie, quizás sí, quizás no, a mi no me lo parece, pero bueno, para mi no tiene la menor importancia ese asunto.
Como es bien sabido el punto fuerte del jazz y del blues es el directo, siempre se disfruta muchísimo más y a mi parecer suena bastante mejor que en los discos (cosa que no suele ocurrir con otro tipo de música, y la verdad, desconozco la razón), por eso he intentado poner los vídeos. Lo que ocurre es que de una canción de Susan Tedeschi que quería poner no he encontrado vídeo que se pueda colgar , así que en su lugar pongo el audio y el enlace al vídeo.
Hoy me apetece hablar sobre un juguete que descubrí no hace mucho tiempo. Más concretamente, hablaré sobre la Física en la que se basa su funcionamiento. El juguete en cuestión es el hombrecillo equilibrista.
Para ver cómo marcha la Física del hombrecillo equilibrista tendremos que conocer el concepto de centro de masas, uno de los tantos conceptos que los físicos han inventado para hacer más sencilla la tarea de resolver ciertos problemas y entender determinados fenómenos. Es algo inventado, pero ¡ojo! no modifica ningún resultado, y esa es la razón de que sea lícito usarlo.
Sea un sistema formado por dos o más partículas, definimos el centro de masas como el punto en el que podemos suponer que se concentra toda la masa del sistema. La posición del centro de masas se calcula teniendo en cuenta de qué forma están distribuidas las masas implicadas. En el siguiente dibujo aparece indicado el centro de masas de un sistema formado por dos partículas, una más masiva que la otra. En este caso el centro de masas aparece bastante desplazado hacia la izquierda, ya que la mayor parte de la masa está en el extremo izquierdo.
Una vez entendido esto, podemos pasar a analizar el juguete, que es un sistema como el del ejemplo, formado por dos partículas (el hombrecillo en sí y el objeto del otro extremo del alambre). Mi sistema, bastante pobre en cuanto a los materiales utilizados (pero no por eso peor), quedó de la siguiente forma
Antes de comenzar a analizar los casos que pueden darse hay que tener en cuenta una serie de cosas:
En primer lugar, que la goma de borrar (situada en el extremo inferior) pesa más que el “hombrecillo” (corcho con palillos). Esto hará que el CM se sitúe siempre por debajo de los palillos.
En segundo lugar, que los palillos serán el punto de apoyo del sistema de dos partículas.
Y por último lugar, que para lograr que nuestro sistema sea estable es necesario que el centro de masas se encuentre por debajo del punto de apoyo, nunca por encima. ¿Y esto por qué? Muy sencillo. Si consideramos sólo el corcho y los palillos, nuestro hombrecillo no podrá mantenerse estable, puesto que su centro de masas está a la derecha y por encima del punto de apoyo (el hecho de que el punto de apoyo esté inclinado es lo que genera esta inestabilidad, hace que el centro de masas no esté en el “centro”). Es como si intentamos mantener de pie una naranja apoyada sobre dos bolígrafos introducidos oblicuamente sobre la naranja, no habrá forma, se caerá. Pues bien, si ahora al hombrecillo le añadimos el alambre y la goma, lo que estamos haciendo es bajar el centro de masas (ya que la masa de la goma es bastante mayor) esto es, le damos estabilidad. Ya no tenemos la naranja sobre los bolígrafos, ahora la mayor parte de la masa no está por encima del punto de apoyo, sino por debajo. Luego lo podríamos considerar como una varilla de la que cuelga una masa, que es un sistema completamente estable, justo lo que buscamos.
Como queremos mantener un CM por debajo del punto de apoyo, es evidente que cuanto menor sea la longitud del punto de apoyo, mejor.
Además de esto, tenemos que tener en cuenta que no sólo vale tener el CM bajo, sino que su distancia (horizontal) respecto a los palillos debe encontrarse dentro de unos límites, como explicaré más adelante. Hay que ser cuidadoso a la hora de curvar el alambre.
Bien, ya estamos en condiciones de estudiar las distintas situaciones en las que puede encontrarse nuestro sistema:
· Primer caso: Doblamos el alambre de tal forma que el punto de apoyo y la goma estén alineados.
De esta forma el centro de masas será un punto de una línea perpendicular a la mesa y que une el corcho y la goma. Esta es la situación más estable, el juguete apenas oscilará, ya que hemos hecho que el CM se sitúe justo por debajo del punto de apoyo.
· Segundo caso: Doblamos el alambre haciendo que la goma quede por detrás del punto de apoyo.
En este caso el CM no cae justo por debajo del punto de apoyo, sino que está desplazado hacia la izquierda (pues es donde más masa hay). Como no se trata de una situación estable el hombrecillo comenzará a oscilar e irá frenando hasta quedar quieto en una posición que sí será de equilibrio, es decir, en la que el CM si quede justo bajo el punto de apoyo. Esto lo consigue el juguete inclinándose hacia atrás ( o lo que es lo mismo, “trayéndose” la goma hacia adelante). De esta forma el CM se desplaza hasta situarse debajo de los palillos.
· Tercer caso: Doblamos el alambre haciendo que la goma quede por delante del punto de apoyo. Ahora el CM estará por delante del punto de apoyo, así que el hombrecillo oscilará y en su posición final estará inclinado hacia adelante (desplazando la goma hacia atrás) buscando que el CM caiga justamente por debajo del punto de apoyo.
Por último explicaré la observación que antes hacía sobre la distancia horizontal del CM al punto de equilibrio, pues una vez conocemos el comportamiento que puede tener el juguetito, es muy fácil de comprender. Si en el segundo caso, situamos la goma muy por detrás de los palillos, el hombrecillo necesitaría inclinarse tanto para hacer que el CM quede bajo el punto de apoyo, que acabaría cayendo hacia atrás. En el tercer caso ocurriría algo análogo, aquí el hombrecillo caería hacia adelante.
Y listo, ya hemos desentrañado todos los secretos de este juguete tan simpático.
Una vez bien finiquitados los exámenes y tras una placentera estancia por los nortes de España, vuelve a marchar el cotarro del blog.
Y como me vinieron tan bien los aires norteños, publico algunas de las fotos que tomé, todas ellas protagonizadas por bicis y/o ciclistas y/o carriles bicicleteriles, pues me llamó la atención que una parte de la ciudad (la que yo ví) estuviese tan bien adaptada al desplazamiento en bici.
Hace demasiado que no escribo. Pero habrá que esperar a que junio se marche. Hasta entonces dejo aquí algo que me hace compañía durante algunas tardes de estudio.
Estudiando y ordenando apuntes, de repente me encuentro con un dibujo de mi antiguo "lugar de trabajo". En segundo de E.S.O. nos lo mandaron hacer. Me acuerdo de que ese día nos sentamos un puñado de gente por la pista a dibujar.
Hace ya bastante tiempo que por casualidad llegó a mis manos un pequeño "mocho" de fibra óptica. La primera vez que la vi en contundente directo. Fue bonito.
Resulta que formaba parte de un juguete que ya no funcionaba, pero para mí las fibrillas estas por sí solas ya eran un juguetillo.
Lo mejor es que decidí que sería mi juguetico sin tener ni pajolera idea ni de para qué servían todos los pelitos esos, ni de qué estaban hechos. Y a ver cómo leches juego con algo que no se qué puede hacer.
Lo único que sabía es que era utilísimo, porque en las ciencias se usaba para muchas cosas.
Entonces me puse a experimentar. Os presento los instrumentos que utilicé, además de la fibra óptica:
Este cacharrito me proporcionó los fotones.
Y esto...bueno, es un tronco de estos de decoración de los centros de mesa, que me venía al pelo para tener el puñado de fibras en vertical (aunque la foto se vea en horizontal). Empecé apuntando con una lucecita a todos los pelitos de fibra óptica, et voilà! Vi que si hacía incidir la luz en la base del "mocho", la luz sólo se volvía a ver en los extremos de las fibras, los fotones no se veían a través de las fibras. Qué fuerte, tú. ¿Qué maravillas podían ocurrir dentro de los pelitos que no dejaban escapar la luz?
Dado que se trataba de luz, lo primero que se viene a la cabeza es: reflexión y refracción. Recordé entonces que el tema estaba relacionado con los índices de refracción, los ángulos del rayo incidente, reflejado y refractado... Pero nada sacaba en claro. ¿Solución? La de muchas otras veces, desempolvar el libro de física de bachiller. Y cuando llegué a la página 254 Snell me propinó una colleja (bien merecida).
Primero de todo recordaremos conceptos, que si no, no nos enteramos de nada. El índice de refracción (n) de un medio (aire, agua, el río Segura) viene dado por la razón entre la velocidad de la luz en el vacío (c = 3·10e8 m/s) y la velocidad de propagación en dicho medio. La refracción tiene lugar cuando un rayo de luz que se está propagando en un determinado medio, pasa a propagarse en otro medio con distinto n. Imaginemos que un rayito de luz se está propagando por el aire y se tropieza con un trozo de vidrio. Lo intuitivo es pensar que la velocidad de la luz al pasar al vidrio disminuirá. Y eso es precisamente lo que ocurre, es justo lo que nos indica el índice de refracción. El n del vidrio es mayor que el del aire, y como n = c/v, esto quiere decir que la luz se propagará por este último material con menor velocidad (veremos a continuación las leyes que sigue este fenómeno). Por otro lado, la reflexión sucede cuando un rayo de luz que incide sobre un medio de distinto n no consigue atravesar el medio y se "refleja". El ángulo de incidencia y de reflexión (ambos con respecto a la normal) son iguales.
Lo siguiente, a boli:
Aquí demostramos que si un rayo de luz pasa de un medio a otro con mayor n, su velocidad disminuye, esto es, se acerca a la normal. Por lo tanto, si un rayo pasa de un medio a otro con menor n , la velocidad aumenta, o sea, se aleja de la normal.
Centrándonos en la última afirmación, tenemos que señalar, que existe un ángulo límite de incidendia, esto quiere decir que si lo superamos, el rayo ya no se refractará sino que pasará a reflejarse. En el dibujo que sigue se puede ver con claridad.
El fenómeno en el que se sobrepasa el ángulo límite y el rayo ya no se refracta se denomina reflexión total.
Pues bien, esto es justo la clave de lo que sucede en el interior de una fibra óptica, lo que pasa es que, puesto que en la videa real no trabajamos con sistemas ideales, puede haber pérdidas a lo largo de todo el recorrido del rayo de luz, pero muy pequeñas.
Esta fibra está hecha generalmente de vidrio, y esta formada por dos partes. Una es el núcleo, que tiene un n mayor que la cubierta que lo rodea. Núcleo y cubierta están hechos de materiales similares.
¡Y listo!
Ahora vamos a deleitarnos con la elegancia de la linda fibra óptica.
Una fibrilla óptica solitaria
*Se observa bastante luz a través de las fibras y esto se debe principalmente a la luz que utilizo, que no es un haz concentrado de fotones, y además no estoy apuntando directamente a la base de las fibras, si no que el foco de luz está más abajo. Además, las fibras no son perfectas (ni pueden serlo), presentan impurezas y están algo deterioradas.
Y para acabar, dejo algunas aplicaciones de la fibra óptica que me han parecido interesantes:
Se utiliza en medicina, para observar órganos internos del cuerpo sin tener que intervenir quirúrjicamente.
También en telecomunicaciones ya que por su flexibilidad los conductores ópticos pueden agruparse formando cables. Las fibras usadas en este campo son de plástico o de vidrio, y algunas veces de los dos tipos. Para usos interurbanos son de vidrio, por la baja atenuación que tienen.
Las fibras ópticas son muy usadas en el campo de la iluminación. Para edificios donde la luz puede ser recogida en la azotea y ser llevada mediante fibra óptica a cualquier parte del edificio.
Fuente de las aplicaciones de la fibra óptica: Wikipedia
Fue hace una semana cuando nos reunimos cientos de ciclistas con el fin de denunciar la falta de interés por parte del gobierno regional en hacer de Murcia una ciudad más o menos apta para moverse en bicicleta.
Y también para denunciar la construcción de parkings subterráneos en pleno centro de la ciudad, uno de ellos estará bajo el jardín de San Esteban, lo que significará un jardín menos, como mínimo durante el largo tiempo que tarden en construir dicho párking.
O sea que no es sólo que no se preocupen por que Murcia reúna las condiciones para que se pueda ir en bicicleta (que es un derecho, no un lujo, como piensan algunos), sino que promueven el uso del automóvil ofreciendo más plazas de párking. ¡Ála, vamos a petar el centro de contaminaciones varias, que no hay suficientes ya!
Una vergüenza. Y por si fuera poco el morro que le echan, han puesto por todos lados carteles de esos en los que van apareciendo diferentes textos sobre Murcia, y uno de los textos que aparece es:
-Proyecto de "tropecientos" kilómetros de carril-bici.
Y los proyectos de carril bici ya me los conozco yo, que proyectar es muy fácil, llevar a cabo ya no tanto. Desde que dijeron esto lo que se está construyendo son párkings, pero el carril de bicis sigue igual de estancado que siempre.
Esperemos que se resuelva ya este tema de una buena vez.
Estuve ayer leyendo sobre algunos planetitas del Sistema Solar, y me llamó especialmente la atención el amigo Saturno.
Resulta que aun siendo uno de los planetas más voluminosos del Sistema Solar, es el único cuya densidad es menor que la del agua. La densidad de Saturno es aproximadamente 700Kg/m3, y la del agua, 1000Kg/m3.
Como me pareció bastante curioso, se me ocurrió calcular cuál sería el empuje ejercido por el agua si introdujésemos a Saturno en una gran balsota de agua en la Tierra -sí, esa gran balsa debería ser mucho más grande que la propia Tierra, pero es el planeta más gordo donde se conoce que hay agua, y sí, me refiero a coger a Saturno como si de una pelota perfectamente esférica se tratase y meterlo en el agua hasta cubrirlo por completo-.
Ayudándome del viejo principio de Arquímedes, comprobé que, efectivamente, el empuje* era mayor que el peso real del planeta. ¿Pero cuánto mayor? Pues 103 veces mayor. Vamos, que tampoco mucho. Saturno, una vez sumergido, ascendería a la superficie del agua, pero no rapidísimamente.
Después de esto, me surgió una pregunta. Si lleváramos a cabo dicho experimento, y una vez Saturno permaneciese a flote de forma estable -esto es, una vez dejase de oscilar-, ¿qué volumen y masa de Saturno permanecería bajo el agua?
Nuestro sistema Saturno-balsa estaría en equilibrio, por tanto el empuje aquí tiene que ser necesariamente igual que el peso real del planeta- para que ni salga disparado, ni se hunda-. Tendríamos entonces que Vsum*plíquido*g=Vcuerpo*pcuerpo*g. Aquí dividimos por g ambos lados y podemos hallar la expresión con la que encontraremos el volumen que queda sumergido. Vsum=plíquido*Vcuerpo/pcuerpo.
El caso es que al final sale que el volumen que queda bajo el agua es el 70% de su volumen total, que es lo que cabía esperar, ya que la densidad de Saturno es casi el 70% de la densidad del agua.
Para saber la masa sumergida lo tenemos fácil, será el producto del volumen sumergido por la densidad de Saturno. El resultado es también aproximado al 70% de la masa de Saturno
Así de chachi es la cosa.
*Empuje=Vsum*plíquido*g
Peso: masa*g = V*p*g
Vsum: volumen del cuerpo sumergido==Vdes
Vdes: volumen del líquido desalojado, que coincide con el volumen del cuerpo sumergido. Por ejemplo, en el primer caso, para calcular el empuje, como consideramos el cuerpo totalmente sumergido en el agua, el volumen de líquido desalojado coincide con el volumen total del planeta.
Con motivo del Año Internacional de la Astronomía, la Universidad de Murcia -que forma parte del proyecto U4 junto con otras universidades de España- ha organizado una serie de conferencias para que todo el que quiera pueda conocer más sobre los astros y, en general, sobre todo lo relacionado con el universo.
Pongo aquí toda la información sobre las conferencias:
Si es que mira que es simpática la tía. Es muy fuerte lo suyo, no se cómo diablos lo hace, que cada vez que la veo me troncho. Hablo de Eva Hache, sí, la que huele a humor y a ironía, la que va por ahí provocando carcajadas con una facilidad pasmosa.
Qué bueno que la tele además de escupir mierda, morbo y anuncios, ofrezca unas poquichuelas cosas apetitosas. Se agradece, sí señor.
Y bueno, hoy me apeteció comentar esto porque esta mañana -tras un largo periodo de tiempo apartada de la vida social- volví a ver la luz natural en la calle -así como las aparatosas meninas que han escachuflado por todo el centro-. Ha sido bonito...sin carpetas, ni bolígrafos, ni nada relacionado con lo académico. Pero ná' de ná'.
Y eso, que estaba de buen humor y me he acordado de los viejos tiempos, viendo Noche Hache, donde Eva decía cosas que eran la risa. Cosas como estas:
"El ministro de defensa japonés dimite tras asegurar que las bombas de Hiroshima y Nagasaki fueron inevitables y necesarias para acabar con la Segunda Guerra Mundial. Es como si Moratinos dice que fue bueno perder Gibraltar para que los andaluces hablen mejor inglés".
"Fernando Torres se ha ido. Se ha ido de casa a sus 23 años. Pero ya quisieran todos los padres que sus hijos se fueran de casa a esa edad, porque no se van ni a la edad de Torres ni a la de Luis Aragonés".
Dejo aquí un vídeo en el que aparece esta mujer con otro de los grandes, Buenafuente. Aunque el vídeo -en mi opinión- sólo tiene gracia durante la primera mitad, creo que merece la pena echarle un vistazo.
Salud!
PostIt: En entradas posteriores volveré a hablar sobre genios del humor, más concretamente, sobre Unos Genios en sí: Les Luthiers.
Hombres gigantes, monos gigantes, lagartos gigantes...¿podrían existir físicamente guardando la misma proporción que en la realidad, esto es, aumentando lo mismo cada una de sus partes del cuerpo?
Vamos a verlo.
Estudiemos, por ejemplo, lo que ocurriría con el hombre.Nos basaremos en la Ley Cuadrado-Cúbica: "Si un cuerpo tridimensional –irregular o no– crece manteniendo sus proporciones, su superficie lo hará como el cuadrado de cualquiera de sus líneas y su volumen como el cubo de las mismas." Tendremos entonces en cuenta la longitud ( h), la superficie ( h ² ) y el volumen ( h ³ ). La proporción nos la da el cociente del volumen entre la superficie. Vamos a considerar que la del hombre es 1, es decir, que es perfectamente proporcional. Esto quiere decir que cada unidad de superficie del cuerpo de un hombre soporta una unidad de volumen. Como son las piernas las que realmente deben soportar al resto del cuerpo, digamos que cada unidad de superficie de las piernas soporta una unidad de volumen.
Ahora imaginemos un hombre gigante, de unos 10 metros (h=10). Si calculamos su proporción h ³/ h ²tendríamos 10 ³ / 10 ² que nos da 10. Esto significa que el hombre gigante tiene que soportar 10 unidades de volumen por cada unidad de superficie de sus piernas. Debería soportar ¡10 veces más de lo que soporta el hombre de estatura normal!, luego sus piernas se romperían -literalmente-.
Por tanto la proporción de un hombre normal no sirve para un hombre gigante. Si queremos que el pobre gigante se mantenga en equilibrio y no se destroce las piernas, su proporción tiene que ser 1. Y esto lo podemos conseguir aumentando la superficie de sus piernash ³/ (h³/²) ²De esta forma la proporción nos dará 1.
Se deduce, por tanto, que a medida que aumente la altura de un hombre, necesitará piernas más grandes para poder estar fácilmente en equilibrio del mismo modo en que está un hombre normal.
Esta mañana cuando iba en el autobús, mientras era bombardeada por la música de los 40 principales -como siempre- me he acordado de Chuck Berry. Y me ha venido entonces a la cabeza una fantástica película que vi hace mucho en la filmoteca -y que recomiendo-: Jazz on a Summer's day. Trata sobre el Festival de Jazz de Newport de 1958, en el que estuvieron, entre otros, Chuck, Anita O'Day, el señor Louis y Mahalia Jackson. Una delicia.
El caso es que me he quedado pensando en lo bestia que sería asistir a un festival de ese tipo pero de repente ha empezado a sonar en la radio un punchumpunchun bastante desagradable y ...se ha roto la magia.
Pero bueno, aunque no sea en contundente directo, es alentador saber que la música de los de antes estará ahí siempre para ser escuchada/disfrutada/ydemás.
Este es un artículo que apareció en El País el año pasado y me llamó mucho la atención. Yo no me hubiera expresado tan bien. "Señor automovilista" de Juan Merallo Grande
Le aseguro que cuando circulo en bicicleta por nuestra ciudad no lo hago para molestarle. Lo hago para desplazarme sin contaminar, sin ocupar apenas espacio público al circular ni al aparcar. Usted piensa que le molesto porque en algún momento no le permito ir a la velocidad que usted quiere (la ciudad tampoco es para correr, téngalo en cuenta) y me adelanta de forma agresiva, estando a punto de provocarme un accidente muy serio. Y todo para luego encontrarnos en el siguiente semáforo, donde usted mira para otro lado, avergonzado de que una bicicleta llegue al mismo tiempo, e incluso antes, que su potente coche, ese utensilio de dimensiones desproporcionadas para un uso urbano.
Le ruego que espere usted pacientemente a que se den las condiciones para adelantarme, y mientras me ve pedalear sin el estrés de las prisas y el ruido que van intrínsecos con el uso automovilístico, piense si su ritmo de vida sedentaria es el correcto, si está usted contento consigo mismo. Y si decide usted seguir usando su coche, por favor, al menos respéteme y permítame no ser un eslabón más de la cadena contaminante de su ciudad.
¡Ah! Y a esa mayoría de automovilistas que sí me respetan, muchas gracias.
Estamosya en los últimos días de clase antes de los “esperados” exámenes y he pensado en poner aquí una especie de resumen de mis apuntes de Álgebra y Geometría a modo de repaso. Lo bueno de esto es que si anda por ahí algún interesado por las mates esto le servirá para conocer los conceptos y reglas de una abstracción tan linda como es el Álgebra. Y quizás le sirva el contenido de esta entrada a algún fugaz lector que sin querer haya llegado a estos lares.
Comenzaremos introduciéndonos en los espacios vectoriales. ¿Y qué esto? Pues es la terna formada por V (un conjunto no vacío, es decir, que contiene algún elemento), +, una operación interna en V que como todos sabemos se denomina “suma” y x, una operación externa sobre V con operadores escalares tales que se cumple la asociatividad, conmutatividad, atributividad, el elemento neutro, el opuesto y el inverso. A los elementos de un espacio se les denomina vectores, esto es, si consideramos el espacio P de los polinomios, sus elementos, los polinomios, son los vectores de P.
N, Z, Q, R, C son, respectivamente, los espacios vectoriales formados por los números naturales (0, 1, 2…), los enteros (…-1,0,1,2…), los racionales (…-7.02, 0.22, 1.5…), los reales (N, Z, Q y los irracionales como √2) y los complejos (2+3i… siendo i=√-1).
Contenidos en los espacios vectoriales están los subespacios. Si tomamos un espacio V, decimos que U es un subespacio de V si se cumple que: el vector obtenido de multiplicar un vector de U por un escalar, está en U; la suma de dos vectores de U da como resultado un vector de U. Esto se podría resumir en una sola propiedad: U es un subespacio si es cerrado para combinaciones lineales (es decir, que la suma de cualquiera de sus vectores multiplicados por un escalar dará un vector contenido en U).
Combinaciones lineales…centrémonos en esto. ¿Cómo saber si un vector es combinación lineal de otros? Fácil fácil. Si consideramos un conjunto de vectores sabremos si son linealmente independientes (que equivale a decir que ninguno es C.L. de los demás) si la única forma de que obtengamos un 0 poniéndolos como C.L. es que todos los coeficientes (escalares) de los vectores sean 0. P. e.: (3,2),(1,1),(1,0) son linealmente dependientes. ¿Por qué?1(3,2) + (-2)(1,1)+(-1)(1,0)=(0,0) Además, a simple vista ya se podría ver que el primer vector es C.L. de los otros dos.
Continuamos con algo bastante intuitivo: un conjunto de generadores. Se trata de un grupo de vectores de un espacio determinado que combinándose generan cualquier vector perteneciente a dicho espacio. Un C. G. puede ser o finito o infinito.
Un concepto tremendamente importante en Álgebra es el de base, que se define como un conjunto de vectores que además de ser generadores son linealmente independientes. Y una característica importante de las bases es que dada una base de un espacio vectorial, cualquier vector de dicho espacio se ecpresa de modo único como C. L. de elementos de dicha base.
Una vez entendido esto ya podemos pasar a introducir una serie de teoremas y proposiciones (con sus respectivas y obligatorias demostraciones) relacionados con los conceptos explicados.
“Siendo S un conjunto de vectores lin. ind. y u un vector que no pertenece a S, al unir (añadir) u a S seguimos teniendo un conjunto de vectores lin. ind.” Esto es una afirmación que si se ha entendido lo anterior, es evidente.
“Si consideramos V un espacio vectorial distinto del vacío y finitamente generado podemos asegurar que tiene una base”.
A continuación viene un señor teorema: el Teorema de Steinitz. Y este hombre se juega el jornal a que si tomamos una base de V (un espacio vectorial cualquiera) y un conjunto de vectores lin. ind., se puede cambiar cada uno de los vectores de la base por uno de los vectores lin. ind. Y seguiremos teniendo una base.
Teniendo claro este teorema podemos inferir que todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.
Sí, ya sé que va siendo hora de introducir cosas nuevas, que esto está más que sabido. Así que vamos a ello, y empecemos con el rango. El rango es el nº de vectores lin. ind. de un conjunto de vectores. Un concepto muy similar, sólo que referido a los espacios y subespacios (y no a un grupo de vectores) es la dimensión. Todo el mundo sabe perfectamente cuándo lo que está viendo es de una, dos o tres dimensiones, pero, ¿qué es la dimensión? Nada más y nada menos el nº de elementos de una base. Y un subespacio cuya dimensión es una menor que la del espacio que lo contiene se denomina híperplano.
Si consideramos V un espacio vectorial de dimensión n:
Unos elementos fundamentalesque facilitan muchísimo el trabajo con vectores son las coordenadas de un vector con respecto de una base.
Un vector se expresa de modo único con respecto a una base, y a veces nos interesa expresar dicho vector con respecto a otra base distinta por comodidad, ¿pero cómo hallamos las nuevas coordenadas que tendrá el vector?
Seguro que a estas alturas alguno se habrá preguntado si se puede hacer algo más con los subespacios aparte de añadirle un elementucho. Pues sí señor. Los subespacios se pueden sumar. La suma de dos subespacios de V (que contiene a los vectores suma de un vector de un subespacio y un vector del otro) es el menor subespacio de V que contiene a ambos. A diferencia de la suma, la unión de dos subespacios (que contiene a los vectores que están en uno y/o en el otro subespacio) no es, en general, un subespacio.
Os presento ya a la bendita Fórmula de Grassman, que nos servirá para hallar la dimensión de la unión, de la suma y de la intersección (elementos comunes) de dos subespacios.
Basándonos en Grassman decimos que la suma de dos subespacios es directa si su intersección es 0. Y todo vector de la suma se expresa de modo único como suma de un vector de uno de los subespacios y un vector del otro.
Y lo último de este tema. Llamamos complementario de un subespacio a aquelque se encuentra en suma directa con dicho subespacio y cuya suma da lugar al espacio vectorial que contiene a ambos.
Bon profit!
Post it 1: Si alguien cree que me equivoqué en algo, agradecería muuucho que me lo dijese.
Post it 2: Las preguntas/dudas y derivados son bien recibidas, pero no aseguro saber responderlas.
